案 例 剖 析
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ANLI POUXI
基于同题异构设计“教—学—评”一体化初中数学分层作业
◎余高霞 （ 甘肃省定西市临洮县椒山初级中学，甘肃 定西 743000)
【 摘要】在初中数学教学中，分层教学是一种有效 的教学方法，可以满足不同学生的学 习 需求．文章 以 “ 同题异构”为理论基础，探讨 了 基于“ 同题异构”设 计“教—学—评”一体化的初中数学分层作业的可行 性和有效性．通过对实际案例的设计和实施，收集并分 析相关数据，基于优等生、中等生和学困生的不同基 础，设计相应的作业形式．不同的作业形式可使不同层 次学生达成自 己的学习目标，使数学作业分层设计更 加科学，从而提升数学作业效果.
【 关键词】同题异构；“ 教—学—评”一体化；初中 数学；分层作业
初中阶段学生有着明显的个体差异，如何让不同 能力的学生均能通过数学作业提升数学水平是值得 研究的问题．“ 教—学—评 ”一体化就是实现 教 学 内 容、学习内容和考核指标的统一，其对分层作业的实 施具有重要意义.
一、案例设计
（ 一）知识点选择：人教版初中数学八年级上册 “ 三角形全等的判定”
作为初中数学的一部分，“三角形全等的判定”在 数学知识体系中占据重要位置．它为学生打下了理解 几何学的基础，帮助学生初步掌握几何图形的性质和 关系．全等的概念和判定是几何学中最基础和最重要 的知识之一．学习“三角形全等的判定”能够帮助学生 建立起几何观念，形成对几何图形的认识和直觉感.
（ 二）样本选择和分层方式
本案例选择八年级某班学生为样本，该班共有 46 名学生，男生 26 名，女生 20 名．该班级在整个八年 级中处于中上水平，具有较强的代表性．在分层方式 上，本案例依据学生的数学成绩将学生划分为优等 生、中等生、学困生三个类别．其中 优 等 生 选 取 班 级 数学名次前十的学生，学困生选取班级数学名次后十 的学生，其他学生归为中等生.
（ 三）案例目标
优等生 |
中等生 |
学困生 |
1 . 熟练掌 握 三 角 形全等的基本概 念，能 够 对 三 角 形全等的判定条 件进行推导. 2. 能够利 用 三 角 形全等的判定条 件进行简单的问 题 解 答，包 括 判 定两个三角形是 否全等以及推导 出 三 角 形 全 等 所需的条件. 3. 能够运 用 三 角 形的全等性质解 决相关的实际问 题，如 计 算 三 角 形的边和角 |
1 . 了解 三 角 形 全 等的基本概念和 判定条件. 2. 能够 正 确 使 用 三角形全等的判 定条件判断两个 三角形是否全等. 3. 能够 利 用 已 知 信息推导出三角 形全等所需的条 件，并 进 行 简 单 的证明. 4. 能够 应 用 三 角 形全等的知识解 决较简单的实际 问题 |
1 . 掌握基本的三 角 形 全 等 的 概 念，理 解 三 角 形 全 等 的 判 定 条件. 2. 能够正确运用 给定的判定条件 判断两个三角形 是否全等. 3. 能够简单地应 用三角形全等的 知识解决一些基 本的实际问题 |
（ 四）案例流程
1 . 学生“学”的部分
对于初中数学“ 三角形全等的判定”这一章节的 内容，优等生、中等生和学困生可以采取不同的学习 方式，以达到各自的学习目标.
优等生 |
中等生 |
学困生 |
1 . 自 学 教 材：可 以 仔 细 阅 读 教 材，并 多 次 阅 读 相关定理的证明 过程，以加深理解. 2. 拓展学习资源： 可以使用网络资 料，寻找更多关于 |
1 . 关注重点：重点 关注教材中关于 三角形全等的基 本概念和判定条 件，理 解 基 本 的 定理和证明过程. 2. 学习经典例题： 查阅经典例题的 |
1 . 阅 读 教 材：可 以 仔 细 阅 读 教 材，理 解 三 角 形 全等的基本概念 和判定条件. 2. 刷 题 巩 固：可 以选择适合自己 水平的练习题，逐 |
续 表
优等生 |
中等生 |
学困生 |
三角形全等的知 识，了 解 更 多 定 理和应用场景， 熟悉全等三角形 的应用案例. 3. 解决挑战问题： 可以主动解决 一 些复杂的问题， 挑战自己的思维 和应用能力. 4. 交流讨论：与其 他优秀的同学进 行 讨 论，分 享 学 习 心 得 和 解 题 方法. |
解题 过 程，加 深 对判定条件的理 解 ，分 析 解 题 思路. 3. 观看视频教程： 结合 教 材，观 看 一些相关的教学 视频，以 辅 助 理 解和记忆. 4. 解决实际问题： 尝试应用所学的 知识解决一些实 际问 题，加 深 对 三角形全等的应 用意义的理解 |
步 提 高 解 题 能 力，多提问，及时 纠正错误. 3. 寻 求 帮 助：及 时向老师或同学 请教，在 学 习 中 遇到 困 难 时，寻 求帮 助 和 指 导， 及时解决问题. 4. 反 复 强 化：通 过反复复习和练 习，巩 固 基 础 知 识 ，提 升 学 习 能力 |
2. 教师“教”的部分
在教师讲解知识之前，学生已经通过自学的方式 对该章节知识点有了一定的了解．因此，教师在“ 教 ” 的过程中只需要根据学生的学习情况，开展针对性教 学即可.
(1) 针对优等生
教师可为优等生提供更高层次的拓展学习资源， 如复杂问题、实际应用情境等，以满足他们对知识深 入理解和应用的需求．教师可向优等生提供学习案例， 鼓励优等生进行独立研究和探究，使之深入思考并提 出自己的解决方法，培养其创造性思维能力．教师还可 组织学习小组，让优等生之间进行交流，分享学习心 得，激发彼此之间的互相学习和竞争意识.
(2) 针对中等生
教师可详细讲解三角形全等的基本概念和判定 条件，确保中等生能够理解并掌握重点知识．教师可通 过实物演示加深中等生对全等三角形的理解．教师还 可通过解题示范，演示如何运用判定条件，引导中等 生掌握解题思路与技巧．针对中等生的水平，教师可进 行差异化教学，根据难易程度分层讲解，并设计不同 难度的练习题，帮助中等生逐步提升.
(3) 针对学困生
教师可重点讲解三角形全等的基本概念和简易 判定条件，帮助学困生建立起扎实的基础．教师可设计 相关习题帮助学困生巩固知识记忆和技能运用，帮助 其提高解题能力．针对学困生的具体问题和困难，教师 还可进行个别辅导和指导，帮助他们理解和解决难点.
此外，教师需要根据学生的学情和学习进度合理
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安排课堂活动，如小组合作学习、游戏探索等，以激发 学生的学习兴趣和积极性．同时，教师需要不断关注学 生的学习进展，及时给予反馈和指导，鼓励学生思考 和自主学习，促进他们在学习过程中成长和进步.
3. 分层作业评价
针对学困生设计了以下基础类题目：
1 . 如图 1 , 已知△ABC≌△ADE , AB = AD , BC= DE , 那么与∠BAE 相等的角是 .
2. 如 图 2 , 已 知 △ABC ≌ △AED , AE = AB , ∠E -
∠D = 20 ° , ∠BAC= 60 ° , 求∠C 的度数.
图 1 图 2
3. 如图 3 , 将 直 角 △ABC（ 其 中 ∠B = 34 ° , ∠C = 90 ° ) 绕 A 点按顺时针方向旋转到△AB ′ C ′ 的位置，使 得点 C , A , B ′ 在 同 一 条 直 线 上，那 么 旋 转 角 最 小 等 于( ) .
A . 56 ° B . 68 ° C . 124 ° D . 180 °
4. 如 图 4 , △ACB ≌ △A ′ CB ′ , ∠BCB ′ = 30 ° , 则 ∠ACA ′ 的度数为( ) .
A . 20 ° B . 30 ° C . 35 ° D .40 °
图 3 图 4
针对中等生设计了以下提高类题目：
1 . AD 为△ABC 中 BC 边上的中线，若 AB = 2 , AC = 4 , 则 AD 的范围是( ) .
A .AD<6 B .AD>2
C . 2<AD<6 D . 1<AD<3
2. 已 知 在 △ABC 中，AD 平 分 ∠BAC , 且 ∠C = 2∠B , 求证：AB = AC+CD.
3. 如图 5 , 在△ABC 中，AB = AC , 延长 AB 到 D , 使 BD = AB , 取 AB 的 中 点 E , 连 接 CD 和 CE. 求 证： CD = 2CE.
图5
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4. 如图 6 , 在 △ABC 中，∠C = 2 ∠B , ∠ 1 = ∠2. 求 证：AB = AC+CD.
图 6 图 7
针对优等生设计了以下挑战类题目：
1 . 如图 7 , 在锐角三角形 ABC 中，BE , CF 分别是 AC , AB 边上的高，BE 延长至 Q , 使 BQ= CA. 在 CF 上取 点 P , 使 CP= BA , 分别沿 Q 和 P 点向 BC 作垂线，垂足 为 O ′ , P ′ , 求证：PP ′ +QQ ′ = BC.
2. P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上任意一点，沿着 P 点分别 向 BC 和 CD 上 作 垂 线，垂 足 为 E , F , 连 接 EF , 求证：AP= EF.
3. 如何利用剪刀、白纸、量角器制作出两个全等三 角形？
4. 思考生活中的全等三角形应用情况，分析全等 三角形在生活中的应用案例.
二、案例结果和讨论
（ 一）分层作业的设计和实施效果分析
在该案例中通过针对不同层次学生设计分层作 业，在很大程度上提升了各层次学生的学习积极性．对 于优等生来说，给他们提出了更高难度的挑战，激发 了他们的求知欲望和探索能力．对于中等生来说，给他 们提供了难度适中的练习和巩固机会．中等生可以在 适合自己水平的作业中巩固、掌握基本知识和方法， 并逐步提高自己的能力，他们能够在较为自信和舒适 的环境下进行学习，可提升学习动力和自信心．对于学 困生来说，给他们提供了更低难度的起点，帮助他们 逐步掌握基础知识和方法．学困生可以在简单的题目 中逐渐建立自信和对数学学习的兴趣，通过小步快跑 的方式逐渐迎头赶上．各层次学生作业完成情况如下 表所示.
|
平均正确率( % ) |
完成时长 |
优等生 |
80 |
30 分钟 |
中等生 |
80 |
35 分钟 |
学困生 |
80 |
33 分钟 |
（ 二）学生对“ 同题异构”作业的反馈和评价
对于优等生来说，他们对这种作业设计的反馈通
常是非常正面的．这是因为对于他们来说统一难度的 作业可能无法充分发挥他们的才智和能力．而“ 同题 异构”的作业设计，可以使他们面对更加复杂和有挑 战性的问题，促使他们深入思考，提升解题能力，从而 获得满足感和成就感.
对于中等生来说，他们通常能够在适宜难度的作 业中找到学习动力．这种作业设计能够帮助他们巩固 和应用所学的知识，使他们逐步提升解题技巧．中学生 在完成这些作业的过程中能够体会到 自 己的进步和 成长，增强数学学习信心.
对于学困生来说，他们常常面临学习上的困难和 挫折．“ 同题异构”的作业设计可以使他们接触到相对 简单和入门级的题目，从而巩固基础．这种分层作业设 计能够帮助他们建立学习的起点，减少焦虑感，从而 激发起他们对数学学习的兴趣.
结 语
在本 案 例 中，首 先 对 学 生 进 行 了 层 次 划 分，这 为科学地开展“ 教”与“ 学”奠定了基础．“ 学”的部分 采用了学生自学为主、教师引导为辅的方式，为不同 层次的学生提供了丰富的教具，激发了学生的学习热 情．“教”的部分根据学生的学习 目标不同，采取了不 同的形式（ 异构），优等生的实践环节更多，思维深度 也更深，学困生则更加侧重基础．在“评”的环节，主要 采用习题作业的方式来检验学生的学习效果，不同层 次学生的平均正确率均为 80% , 说明题目难度设计合 理，能够激发不同层次学生的学习热情．因此，教、学、 评三个 环 节 处 于 同 一 平 面 上 才 能 够 发 挥 其 应 有 的 价值.
【 参考文献】
[1] 孔佳蕾．基于学生发展的初中数学分层作业
设计与实施[ J] . 智力，2023(25) :108- 111 .
[2] 白永潇．核心素养视角下的初中数学分层作
业设计[ J] . 新课程教学（ 电子版），2023(10) :1 - 3 .
[3] 任丽莎．基于“ 双减”政策的初中数学分层作 业设计策略研究[ J] . 教学管理与教育研究，2023 ( 9) :
71 - 73 .
[4] 冯俊，王芳．基于定边对定角模型的同题异构
[ J] . 中学数学，2022(2) :75- 76 .
[5] 李大为．同题异构 点亮智慧的火花：2011 年 江苏省初中数学青年教师评优课“ 圆”的设计亮点评
析[ J] . 中学数学杂志，2012( S2) :44-46 .
