“教、学、评”一体化设计易出现的误区及分析 ——以反比例函数概念课为例

应佳成

（浙江省杭州市富阳区教育发展研究中心）

摘  要： 以反比例函数概念课为例 ， 用 “ 教 、 学 、评 ”一致性理念为指导 ， 对一次不成功的 “教、学、评 ”一体化设计进行深度剖析 ，找出其中存在的误区 ，改进设计 ，重新进行课堂实践 ，经过 连续三次的改进研究 ，提炼出“教、学、评 ”一体化教学设计的原则 .

关键词：“教、学、评 ”一体化 ；教学设计误区 ；反比例函数

在“教 、学 、评 ”一致性理念指导下开展教学可 以聚焦核心知识 ，使课堂效能最大化 ，有利于学生关 键能力的形成 ，是当下实现精准教学 、培育核心素养 的共识.“教 、学 、评 ”一致性的关键是围绕目标对教 师教学 、学生学习 、课堂评价的过程进行一体化教学 设计并实施.

在“教 、学 、评 ”一致性理念指导下 ，笔者及团 队以反比例函数概念课为例开展“教 、学 、评 ”一体 化研究 ，对实践中产生的问题做深入剖析 ，找出设计 误区 ，进行改进并继续实践. 反比例函数概念课具有 “概念课 ”“章起始课 ”“函数课 ”等多重标签 ，其研究 方式可复制 、可迁移 ，这是选择其作为实验素材的重 要原因. 关于反比例函数概念课的教学实践历时三个 学期 ，经过不断地改进教学设计 ，探索出“教 、学、 评 ”一致性与数学教学的融合方式 ，并提出了基本观 点. 以下是研究与思考 ，共享之.

一、问题提出

第一次教学设计尽管慎之又慎 ，但是教学效果并 不理想 ，表现为学生对概念辨析困难 ， 目标检测题得 分率偏低 ，学生作业质量不高 ，这说明教学没有达成

预期目标.

经过深入分析后发现 ，第一次的教学设计追求形 式 ，泛谈“教 、学 、评 ”一致性理念 ，教学目标不明 确 ， 使学生对于知识理解不到位 ， 没有凸显数学本 质. 虽然称作“教 、学 、评 ”一体化设计 ，但是没有 将该理念与数学理解真正融合 ，导致课堂教学效果不 理想.

二、原设计误区分析

接下来 ，对第一次教学设计从目标制定 、教学设 计、学法指导 ，以及目标测评等关键环节做出详细分析.

误区一： 目标制定不符合知识逻辑

（ 1）原目标.

① 能够在具体情境中 ，识别两个变量具有反比例 关系 ，进而体会反比例函数的意义.

② 能举出反比例函数的实例 ，并能根据已知条件 确定反比例函数的解析式.

（2）问题分析.

第一 ，反比例关系是小学知识 ，是反比例函数的  上位概念 ，可以作为先行组织者材料 ，但不能作为本  节课的教学目标. 第二 ，“两个变量具有反比例关系 ”

收稿日期：2019-07-09

基金项目：2016年浙江省教研立项规划课题——“一核二心” 的初中数学发展性课堂教学设计研究（01475）. 作者简介：应佳成（1976— ）， 男 ， 中学高级教师 ，主要从事课程、教学评价研究 .

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这种说法逻辑关系混乱. 因为反比例关系属于第二学 段的概念 ，研究的是两个离散数量之间的关系 ，非变 量 ；变量属于第三学段的概念 ，在变化的过程中两个 相互依赖的变量之间具有函数关系. 第一次教学设计 中对变与不变 、反比例关系与反比例函数等基本概念 模糊不清 ，使用混淆. 第三 ，反比例函数概念的获得 是抽象的过程 ，用“识别 ”明显不恰当. 第四 ，“能举 出反比例函数的实例 ”反映出对函数概念存在认识误 区. 因为函数是对现实世界数量关系的抽象 ，是具有 一般性的 ，是建立数学模型的基础. 显然 ，反比例函 数是去除了物理属性 ，再次抽象之后产生的概念 ，可 以用反比例函数解释实际问题 ，但是无法举出反比例 函数的实例.

目标设计失误导致教学定位发生偏移 ，加之对数 学理解不到位 ，教学和评价相继受影响.

误区二 ：教学设计脱离数学理解

（ 1）原设计.

环节1：概念引入.

思考 ：小高骑自行车去郊游 ，出发地到目的地路程 为 s (km) ，骑车时间为 t (h) ，骑车平均速度为v (km / h) .

问题 1 ：若 v = 16 km / h ，则 s 与 t 之间存在着怎样 的函数关系？

问题2 ：若 s = 15 km ，则 v 与 t 之间存在着怎样的 关系？

追问1： v 与 t 是否存在函数关系？ 为什么？

追问2 ：若 s 为常量 ， v 与 t 之间是否存在函数关 系？ 为什么？

追问3 ：它们属于哪一种函数？

追问4 ：类比正比例函数的研究方式 ，我们怎么给 这类函数下定义呢？

环节2：归纳概念.

下列问题中 ，变量间具有函数关系吗？

① 某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2 的矩形 草坪 ，草坪的长 y (m) 随宽 x (m) 的变化而变化；

② 北京市的总面积为 1.68 × 104 km2 ，人均占有面 积 S 随全市总人口n 的变化而变化.

三个关系式 y = ， S = ， v = 的特 征是都具有 的形式 ，其中k是不为0的常数.

归纳概念过程略.

（2）问题分析.

第一 ， 以上教学设计中缺乏对上位概念“反比例 关系 ” 的分析和使用 ， 导致知识的产生不流畅. 第 二 ，环节 1和环节2的设计意图不明确 ，材料和功能重 复. 环节 1以具有反比例关系的实际问题引入 ， 以问题 串引导思维的发展 ，到了下定义的关键环节却戛然而 止. 环节2再次以实际问题获得研究对象 ， 主旨不清， 两个环节的背景重复. 第三 ，反比例函数需要从实际 问题中找出一类关系 ， 并对这一类关系进行共性归 纳 ，从而获得函数概念. 概念学习过程是培养学生关 键能力的过程 ，稍纵即逝 ，很难弥补. 环节 1中粗浅地 分析了一个问题情境之后 ，就提出追问3和追问4 ，缺

少丰富的问题情境和必要的共性归纳. 误区三： 学法指导不触及知识本质 （ 1）原设计.

下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？

① y = 4x ；② y = ；③ y = - ；④ y = 6x + 1；

⑤ y =x2 －1.

（2）问题分析.

获得概念之后 ，需要借助具体问题层层辨析 ，加 深学生对概念的理解. 教师引导学生用反比例函数的

形式定义去判断这些问题 ，指出 y = 不符合 y = 的

形式. 如果仅停留于形式定义 ，这样的解释明显不够 严谨 ，没有揭示本质. 对于“假设 x2 = t ，如果将其表

示为 y = ，这是不是y关于t 的反比例函数？”这样的

问题就会解释不清. 学生的学习程度是动态发展的， 教学设计没有关注到学生思维的发展需求 ，对概念的 解释不触及本质 ，是导致测评环节效果不理想的主要 原因.

误区四： 目标测评没有聚焦目标

（ 1）原设计.

① 下列各变量之间，不是反比例函数的是（ ）. （A）汽车在一定路程上的平均行驶速度 v (km / h)

与行驶时间 t (h) 之间的关系

（B）三角形的面积一定 ，三角形的高 h (cm) 与对 应的底边长 a (cm) 之间的关系

（C） 为了美化校园 ，学校共规划出84 m2 的土地修 建四个完全相同的长方形花圃 ，每个长方形花圃的长 y (m) 与宽 x (m) 之间的关系

（D ）若 r (cm) 为圆柱底面的半径 ， h (cm) 为圆柱 的高 ， 当圆柱的体积一定时 ， h (cm) 与 r (cm) 之间的 关系

② 对于函数 y = ，下列说法正确的是（ ）.

（A ）这是 y 关于 x 的正比例函数 （B ）这是 y 关于 x 的反比例函数 （C） y 与 x2 成正比例

（D ） y 与 x 成反比例

（2 ）问题分析.

第一 ， 目标制定错误导致逻辑出错. 在概念抽象 已经完成的情况下 ，再设计测评题①会影响学生对概 念的理解. 心理学研究表明理解会推动迁移. 此处的设 计会造成负迁移 ， 间接影响学生能力的形成 ，甚至出 现能力倒退 ；第二 ，测评题目设计有问题. 测评题②

没有正确选项 ，根据前面的分析已经知道 y = 仅仅

是 y 关于 x 的函数 ，至于 y 与 x2 的关系 ，只能用“ y 与 x2 成反比例 ”来描述 ， 因此这个问题没有正确答案.

三、改进教学设计及分析

1.  解析制定目标

“教、学、评 ”一致性原则的核心是制定合适的教 学目标 ， 因此目标制定是重中之重. 关于反比例函 数，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称 《标准》） 中要求 ：结合具体情境体会反比例函数的意 义 ，能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 作为 单元目标，《标准》要求比较宽泛 ，显然需要进行解析.

从语法的角度看 ，“意义 ”与“表达式 ”是定语 ， 是目标分解的方向. 显然 ，“体会反比例函数的意义 ” 是过程性目标 ； 以概念形成的方法为指导 ，形成反比 例函数概念是教学重点 ，也是过程性目标.“确定反比 例函数的表达式 ”是知识目标. 另外 ，考虑到概念课 需要构建知识框架 ， 因此对知识的简单应用也应该作 为目标. 改进后的教学目标设计如下.

① 体验反比例函数概念获得的过程 ，理解反比例

函数的意义；

② 会利用所给条件确定反比例函数的解析式；

③ 会利用反比例函数解决简单的实际问题.

2.  围绕目标设计教学

反比例函数是由概念引出的 ，导入教学的过程中 需要用好上位概念. 从知识的学习次序来看 ，反比例 关系是反比例函数的上位概念.

概念课有其固定的流程 ， 以目标为导向 ， 经历 “概念的引入→概念的属性归纳→概念的明确与表示→ 概念的辨析→概念的巩固和应用 ”这一系列流程. 从 整体看 ，概念形成的具体环节可以视知识类型 、学情 等有所侧重 ，但是每一环节都无法忽略. 改进后的教 学设计如下.

环节1：从上位概念引入教学.

问题 1： 以下变化过程中两个量之间具有怎样的关 系？试写出它们之间的关系式.

（ 1 ）从甲地到乙地高铁总里程为1 000 km ，行驶时 间t和速度v的关系；

（2 ）面积为12的长方形的长x与宽y的关系；

（3）体积为100的长方体的高度h与底面积S的关系.

追问： 以上关系有什么共性？ 尝试归纳共性.

共性 ：这些关系都具有 xy = k (k ≠ 0) 的共同形式. 环节2：反比例函数属性归纳.

问题2： 在关系式 xy = k (k ≠ 0) 中 ， 变量y是不是 关于变量x的函数？ 变量x是不是关于变量y的函数？

以上问题中 ，每两个变量之间具有函数关系 ，如

vt = 1 000 ，v = t = .  在变化过程中 ，v是一

个变量 ，t也是一个变量 ， 当v每取一个确定的值 ，t都 有唯一确定的值与它对应 ， 因此t是v的函数 ，v是自变 量 ； 当t 每取确定的值 ，v都有唯一确定的值与它对 应 ， 因此v也是t的函数 ，t是自变量.

环节3：反比例函数概念的明确. 问题3 ：怎样对这类函数下定义？

定义： 一般地 ，形如 y = k为常数 ，k ≠ 0) 的函

数 ， 叫做反比例函数 ，其中 x 是自变量 ， y 是函数， 自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数.

环节4：概念精致.

问题4 ：通过分析获得自变量 x ≠ 0 ，那么相对应 · 13 ·

的y的值有什么特点？

环节5：略 .

变化过程中两个量具有依赖关系 ， 即一个量每取 一个确定的值 ，另一个量都会有唯一确定的值与其对 应. 如果将 y 看成自变量 ，那么x也可以看成关于 y 的 反比例函数.  因此 y 也不能为0.

函数概念是学生在初中学习过程中遇到的一般意 义的抽象概念. 在教学过程中 ，教师可以让学生通过 各种实例 ，逐渐熟悉函数的对应关系之后 ，再适时地 归纳出函数表达式. 与原设计相比 ，改进后的设计中环 节 1的设计基于反比例关系 ，用好上位概念 ，从反比例 关系上升到反比例函数. 环节2、环节3、环节4是获得 概念和精致概念的完整流程 ，每一环节的设计意图清 晰明确 ，都在围绕目标而展开. 从学生的反馈情况可 以看出 ，改进后的教学设计抓住了反比例函数概念的 核心要义.

3.  围绕目标指导学习

“会利用所给条件确定反比例函数的解析式 ”是本 节课的目标之一. 概念辨析是一种重要的目标达成手

段 ，也是学生需要掌握的核心能力之一. 对于“ y =

是不是反比例函数？”这类问题 ，定义是最佳辨析方 法 ， 即反比例函数满足条件 xy = k ， 其中k是一个常

量. 对于 y = 可变形为 这里的 是一个 变量 ， 与常量的要求矛盾 ， 因此 y = 不是 y 关于 x 的反比例函数.  同理 ， y = 可变形为 xy = 3y + 2 ，

这里的 k = 3y + 2是一个变量 ，与常量的要求矛盾 ， 因 此也不是y关于x的反比例函数.

改进后的设计如下：

下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？

y = 4x ； = 3 ； y = - ； y = 6x + 1 ；y = 2x - 1 ；y =

补救题：

y = x ；   = 3 ；  y = ；  y = 1 - 6x2 ； y = x-1；y = ;   xy = -1 ； y = -

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此处设计是在制造学生的认知冲突 ，用好概念的 内涵 ，帮助学生从形式到内涵加深对概念的理解 ，扫 清对这类问题的认知障碍.  当然 ，这类问题还可以依 据定义域 x ≠ 0 进行判断 ，但是这种判断方法在本节课 不宜多用 ， 否则会冲淡学生对概念本质的理解. 另 外 ，补救题是为了增加学生的思辨 ，弥补部分学生的 认知欠缺 ，有利于教学目标的达成.

4.  围绕目标设计测评

对于测评题设计 ，进行如下调整 ：测评题①旨在 帮助学生真正理解函数关系 ，也是测评学生对反比例 函数值域 y ≠ 0 的理解 ；测评题②是测评对于反比例函 数定义域的理解 ；测评题③是测评反比例关系与反比 例函数的概念区分 ， 同时也是测学生解决问题的能力.

改进后的设计如下：

① 判断下列说法是否正确 ：在变化的过程中 ，存 在两个变量 x 与 y ，如果 y 是 x 的反比例函数 ，那么 x 也是 y 的反比例函数.  ( )

② 下列函数关系中， y 是 x 的反比例函数的是（ ）.

（A ） （ B ） y = x - 1

（C） （ D ） y = 3x2

③ y与 2x + 1成反比例 ，当 x = 1 时 ， y = 1 ，则 y 关 于 x 的函数表达式是（ ）.

（A ） （C）

四、“教、学、评”一体化设计实践体会

“教、学、评 ”一致性是达成精准教学的一种重要 方式 ，但这仅仅是一个宽泛的概念 ，容易出现抽象、 空洞 、套用概念的现象. “教 、学 、评 ”一体化设计 要与学科特点相融合 ， 挖掘学科知识内部的逻辑关 系 ，注重数学的整体性 、逻辑的连贯性 、思想的一致 性 、方法的普适性 、思维的系统性 ，不能孤立静止， 导致形而上学.

1. 目标要指向学生关键能力发展

教学目标需要体现学生能力可以得到的发展 、学 科思维可以获得的提升（如改进后的目标①),  要体现

学生学习后的发展维度（如改进后的目标②和目标③) . 因此制定教学目标不能脱离《标准》， 需要基于数学内 部的逻辑结构 ，综合考虑单元教学目标 ， 当前教学内 容特点及学情 ，对概念的内涵和外延进行深入分析， 要清晰地知道达成教学目标后的表现形式 ，能保证教 学预期的达成.

2. 设计要围绕目标 ，基于数学理解

教师要了解学生的知识储备 ，合理利用先行组织 者理论分析出知识的上下位关系 ，从而合理设计教 学. 同时 ，教师要基于学生已有的知识观念和思维水 平在最近发展区内做出合理规划 ， 围绕教学目标 ，将 学生需要的概念 、原理融合在恰当的过程与步骤中， 为学生提供恰当的素材和方法 ， 只有在正确理解教学 内容 、深入挖掘数学知识所蕴含的思想方法的基础 上 ，才能做好一体化设计.

3. 学习要突出目标 ，触及知识本质

采用“教 、学 、评 ”一致性理念的目的是发展学 生的关键能力 ，一体化设计需要综合考虑问题设计的 合理性. 在目标落实过程中 ，教师可以利用情境 、辨

析 、认知冲突等方式帮助学生理解知识的本质 ，帮助 学生学会思考问题的方法.

4. 评价要聚焦目标 ，保持“教、学、评 ”一致

测评题的设计是“教 、学 、评 ”一体化设计的最 末端. 测评是为了检测学生的发展是否达到预期水 平 ，是获取学生发展水平证据的一种手段. 测评题的 设计会受教学目标和教学实际的影响. 如果教师对知 识本质理解不够 ，会导致“教 、学 、评 ”全部出现偏 差的可怕情况. 此时可以考虑引进第三方测评.

总之 ，“教、学、评 ”一体化设计需要对课堂各要 素（数学知识 、教学目标 、学生基础 、教法选择） 进 行仔细分析和研究 ，使教学各要素之间相互渗透 、相 互支撑 、有效整合 ，从而达成科学 、高效的现代教学 模式.

参考文献：

［1］ 史宁中. 数学基本思想与方法［M］. 北京： 商 务印书馆 ，2018.

［2］ 曹才翰 ， 章建跃. 数学教育心理学［M］. 北 京： 北京师范大学出版社 ，2017.